Aulo's soup

[Por Uxío] Como ya hemos visto en otras ocasiones, en nuestro Universo todos los elementos que lo integran están en movimiento, de pequeños nos explican que el Sol está quieto y la Tierra es la que se mueve, pero es un pequeña mentira para no liarnos demasiado cuando somos pequeños.

En los brazos de las diferentes galaxias, millones de enormes estrellas se mueven y no han dejado de hacerlo desde hace millones de años, por la tanto, una pregunta que podríamos hacernos es, si todo se mueve, ¿las estrellas están alejándose o acercándose a nosotros (la Tierra)?

En un primer momento, se pensó que la manera de resolverlo es fijarse en la luminosidad de la estrella, si aumenta, se acerca, si disminuye, se aleja, sin embargo, la duración del ser humano como especie es tan insignificante en comparación con los tiempos del Universo, que hizo inviable llegar a apreciar este fenómeno, que pese a ser verdadero, podríamos tardar millones de años en observarlo.

Los científicos han respondido a esta pregunta con cada caso particular, algunas se aproximan y otras se separan. Siempre he considerado fascinante que podamos saber si una estrella está alejándose o acercándose a nosotros, ¿cómo pueden los científicos saber algo así de cuerpos tan lejanos?

Para responder a esta pregunta hay que irse al año 1666, cuando el científico más brillante de todos los tiempos, Isaac Newton, descubrió que era posible hacer que un haz de luz solar a través de un triángulo de vidrio llamado prisma y, en esa forma, esparcir el haz de luz formando una franja o banda, a lo largo de la cual aparecían distintos colores en un orden determinado: rojo, naranja, amarillo, verde, azul y violeta. Cada color se fundía gradualmente con el inmediato, sin que existieran unos límites nítidos o bruscos.

Newton descubrió que la luz del Sol, pese a ser blanca en su conjunto, podía descomponerse en una franja de colores, y denominó a esta franja el “espectro”, como vemos, en astronomía esta palabra tiene un matiz mucho menos siniestro del que utilizamos en el lenguaje común.

En 1803, el científico inglés Thomas Young realizó experimentos que demostraron que la luz estaba constituida por diminutas ondas, cada una de las cuales tenía una longitud inferior a una millonésima de metro. La luz de una "longitud de onda" determinada es desviada de su trayectoria ("refractada") al pasar por el prisma. Cuando más corta es la longitud de onda, mayor es la refracción que experimenta.

Sin embargo, la luz del Sol no contiene todas las longitudes de onda que son posibles. Faltan algunas. En el método que utilizó Newton para conseguir el espectro, la separación de las longitudes de onda no era muy eficiente. Había tanto solape que las longitudes de onda que faltaban estaban enmascaradas por la luz de las longitudes de onda inmediatas en cualquiera de las dos direcciones.

Luego, en 1814, el físico alemán Joseph von Fraunhofer hizo pasar la luz a través de una estrecha ranura antes de dejarla atravesar el prisma. El resultado fue que se formó la imagen de la ranura en luz de cada longitud de onda, y las diferentes longitudes de onda quedaban separadas mucho más nítidamente de lo que había sido posible hasta entonces.

Dondequiera que faltaba una longitud de onda en la luz solar, había una imagen oscura de la ranura...; una línea oscura que aparecía en medio de todas las líneas brillantes que se fundían unas con otras para formar una banda continua. Fraunhofer descubrió casi seiscientas de estas "líneas espectrales" y marcó las más destacadas con las letras de la A a la K.

Esas líneas espectrales aparecían siempre en los mismos puntos y con las mismas separaciones en el espectro solar, puesto que eran siempre las mismas longitudes de onda de la luz las que faltaban. Los astrónomos podían obtener croquis detallados de estas líneas, situarlos en su posición exacta y determinar exactamente qué longitudes de onda faltaban.

Tenemos un importante descubrimiento, y ahora, nos falta saber su aplicación práctica, que llegaría como es habitual, de la forma más insospechada, en 1842, un austríaco llamado Christian Doppler investigaba los efectos del volumen del sonido cerca de objetos en movimiento, algo que a priori nada tenía que ver con los espectros estelares.

Doppler observó que cuando un tren se aproxima a la estación, y hace sonar su silbato, el tono del sonido será cada vez más alto para los que están en la estación, sin embargo para los pasajeros del tren, que se mueven con el silbato, no habrá cambio alguno.

Del mismo modo, si el tren se aleja, los que están en la estación perciben que el tono del silbato se reduce, mientras que los ocupantes del tren no perciben cambio alguno, del mismo modo, si el tren está quieto nadie notará cambios en el tono.

Algo que a la mayoría nos parecería cotidiano y común, fue estudiado meticulosamente por Doppler, y su conclusión fue que el sonido tenía que estar formado por ondas, y que su tono estaba condicionado por la longitud de éstas. Las longitudes de onda de sonido cortas producían el efecto de un tono alto, y las longitudes de onda largas producían el efecto de un tono bajo.

Si un objeto que produce un ruido se acerca a nosotros, la longitudes de onda serán cada vez más cortas, y por ello, el tono será cada vez más elevado, por el contrario, si el objeto se aleja, las ondas pasarán a ser más largas, y cada vez lo escucharemos en un tono mejor. Esto es lo que se conoce como efecto Doppler.

Apenas unos años más tarde, un científico francés, Fizeau, dijo que el efecto Doppler era aplicable también a la luz, puesto que también era un fenómeno ondulatorio. Razonaba que si una fuente de luz se nos estuviese acercando, todas las longitudes de onda se harían más cortas. Por consiguiente, una línea oscura del espectro se desplazaría hacia el extremo de éste, y habría un "corrimiento hacia el violeta".

Si la fuente luminosa se estuviese alejando de nosotros, todas las longitudes de onda se harían más largas. Por lo tanto, una línea oscura del espectro se desplazaría hacia el extremo de éste, correspondiente a las longitudes de onda largas, y habría un "corrimiento hacia el rojo".

En lo que respecta a la luz, este cambio de la longitud de onda debido al movimiento de la fuente se conoce a veces como el efecto "Doppler-Fizeau".

Y ya tenemos el invento montado, con esta información sólo teníamos que obtener el espectro de cualquier fuente de luz para saber si se aleja o se acerca, el Sol fue la primera estrella de la que se obtuvo el espectro, pero pronto se haría con todas las estrellas que conocemos.

Con un telescopio, se capta la luz de las estrellas, y esta luz se pasa por un aparato llamado espectroscopio, así, la estrella Sirius, que presentaba longitudes de onda más largas que las obtenidas del Sol, indicativo de que Sirius se aleja de nosotros en el ángulo que sea, fue la primera observación de la velocidad radial de una estrella, ya que así se conoce este fenómeno.

En la tabla podemos ver la velocidad radial de algunas de las estrellas más próximas. Un signo positivo (+) indica un movimiento radial de aproximación hacia nosotros; un signo negativo (-), un movimiento radial de alejamiento de nosotros.

TABLA 25. -Velocidad radial de algunas estrellas próximas

Estrella

Velocidad radial (kilómetros/segundo)

Estrella de Kapteyn

+ 242

Luyten 726-8

+ 29

Ross 614

+ 24

Lacaille 8760

+ 23

Epsilon Eridani

+ 15

Groombridge 34

+ 14

Wolf 359

+13

Lacaille 9352

+ 10

Procyon

- 3

Ross 154

- 4

Sirius

- 8

Ross 128

- 13

Tau Ceti

- 16

Krüger 60

- 24

Alpha Centauri

- 25

Epsilon Indi

- 60

61 Cygni

- 64

Ross 248

- 81

Lalande 21185

- 86

Estrella de Barnard

- 108

La invención de la fotografía en 1840, así como otros avances, nos han permitido saber mucho más sobre el movimiento de las estrellas, en el año 1889 se dio un caso realmente curioso, la estrella Mizar daba alternativamente el resultado de acercarse y alejarse según el momento en que se midiese su espectro.

No parecía lógico pensar que una parte de la estrella se alejase y otra se acercase, la explicación es que estamos ante una estrella binaria que no puede ser distinguida con un telescopio, y ambas estrellas orbitaban una alrededor de la otra, de ahí los resultados espectrales.

El espectro estelar nos daba otra gran aplicación, descubrir estrellas binarias que no podíamos discernir de otro modo (de tipo binario espectral), pronto gracias a este sistema se descubrió que las estrellas binarias eran mucho más comunes de lo que pensábamos, y que incluso existían estrellas triples o incluso mucho más complejas. Las estrellas Cástor, por ejemplo, son un complejo sistema de seis estrellas.

Puede que haya quien se alarme al saber que hay muchas estrellas que se nos aproximan (hay alarmistas en todas partes), pero pueden estar tranquilos, el que una estrella se acerque no quiere decir que venga directa hacia nosotros, lo hace en un ángulo, de hecho, al pasar miles de años alcanzará el punto más cercano a la Tierra y pasará a alejarse, hasta que pasen de nuevo miles de años, y el baile estelar se vuelva a repetir.

Y en todo este proceso, un observador inmortal desde la Tierra apenas apreciaría un cambio muy pequeño en la magnitud de la luminosidad de la estrella, las probabilidades de que una estrella llegue a impactar con la Tierra son tan remotamente pequeñas que ni siquiera merece la pena tenerlas en cuenta.

El espectroscopio nos puede decir también lo que no es una binaria espectroscópica. Podemos decir, mediante la inspección telescópica ordinaria, que Alpha Centauri es un sistema de tres estrellas. ¿Es cualquiera de las tres una binaria espectroscópica? Alpha Centauri A, B y C no poseen compañeras muy próximas y, por lo tanto, se queda en un sistema de tres estrellas.

Si quieres saber más sobre este tema, te recomiendo el libro “Alpha Centauri: La estrella más próxima” de Isaac Asimov, libro en el que me he basado para realizar esta aproximación al espectro de las estrellas.

[Por Uxío] Como ya hemos visto en otras ocasiones, en nuestro Universo todos los elementos que lo integran están en movimiento, de pequeños nos explican que el Sol está quieto y la Tierra es la que se mueve, pero es un pequeña mentira para no liarnos demasiado cuando somos pequeños.

En los brazos de las diferentes galaxias, millones de enormes estrellas se mueven y no han dejado de hacerlo desde hace millones de años, por la tanto, una pregunta que podríamos hacernos es, si todo se mueve, ¿las estrellas están alejándose o acercándose a nosotros (la Tierra)?

En un primer momento, se pensó que la manera de resolverlo es fijarse en la luminosidad de la estrella, si aumenta, se acerca, si disminuye, se aleja, sin embargo, la duración del ser humano como especie es tan insignificante en comparación con los tiempos del Universo, que hizo inviable llegar a apreciar este fenómeno, que pese a ser verdadero, podríamos tardar millones de años en observarlo.

Los científicos han respondido a esta pregunta con cada caso particular, algunas se aproximan y otras se separan. Siempre he considerado fascinante que podamos saber si una estrella está alejándose o acercándose a nosotros, ¿cómo pueden los científicos saber algo así de cuerpos tan lejanos?

Para responder a esta pregunta hay que irse al año 1666, cuando el científico más brillante de todos los tiempos, Isaac Newton, descubrió que era posible hacer que un haz de luz solar a través de un triángulo de vidrio llamado prisma y, en esa forma, esparcir el haz de luz formando una franja o banda, a lo largo de la cual aparecían distintos colores en un orden determinado: rojo, naranja, amarillo, verde, azul y violeta. Cada color se fundía gradualmente con el inmediato, sin que existieran unos límites nítidos o bruscos.

Newton descubrió que la luz del Sol, pese a ser blanca en su conjunto, podía descomponerse en una franja de colores, y denominó a esta franja el “espectro”, como vemos, en astronomía esta palabra tiene un matiz mucho menos siniestro del que utilizamos en el lenguaje común.

En 1803, el científico inglés Thomas Young realizó experimentos que demostraron que la luz estaba constituida por diminutas ondas, cada una de las cuales tenía una longitud inferior a una millonésima de metro. La luz de una "longitud de onda" determinada es desviada de su trayectoria ("refractada") al pasar por el prisma. Cuando más corta es la longitud de onda, mayor es la refracción que experimenta.

Sin embargo, la luz del Sol no contiene todas las longitudes de onda que son posibles. Faltan algunas. En el método que utilizó Newton para conseguir el espectro, la separación de las longitudes de onda no era muy eficiente. Había tanto solape que las longitudes de onda que faltaban estaban enmascaradas por la luz de las longitudes de onda inmediatas en cualquiera de las dos direcciones.

Luego, en 1814, el físico alemán Joseph von Fraunhofer hizo pasar la luz a través de una estrecha ranura antes de dejarla atravesar el prisma. El resultado fue que se formó la imagen de la ranura en luz de cada longitud de onda, y las diferentes longitudes de onda quedaban separadas mucho más nítidamente de lo que había sido posible hasta entonces.

Dondequiera que faltaba una longitud de onda en la luz solar, había una imagen oscura de la ranura...; una línea oscura que aparecía en medio de todas las líneas brillantes que se fundían unas con otras para formar una banda continua. Fraunhofer descubrió casi seiscientas de estas "líneas espectrales" y marcó las más destacadas con las letras de la A a la K.

Esas líneas espectrales aparecían siempre en los mismos puntos y con las mismas separaciones en el espectro solar, puesto que eran siempre las mismas longitudes de onda de la luz las que faltaban. Los astrónomos podían obtener croquis detallados de estas líneas, situarlos en su posición exacta y determinar exactamente qué longitudes de onda faltaban.

Tenemos un importante descubrimiento, y ahora, nos falta saber su aplicación práctica, que llegaría como es habitual, de la forma más insospechada, en 1842, un austríaco llamado Christian Doppler investigaba los efectos del volumen del sonido cerca de objetos en movimiento, algo que a priori nada tenía que ver con los espectros estelares.

Doppler observó que cuando un tren se aproxima a la estación, y hace sonar su silbato, el tono del sonido será cada vez más alto para los que están en la estación, sin embargo para los pasajeros del tren, que se mueven con el silbato, no habrá cambio alguno.

Del mismo modo, si el tren se aleja, los que están en la estación perciben que el tono del silbato se reduce, mientras que los ocupantes del tren no perciben cambio alguno, del mismo modo, si el tren está quieto nadie notará cambios en el tono.

Algo que a la mayoría nos parecería cotidiano y común, fue estudiado meticulosamente por Doppler, y su conclusión fue que el sonido tenía que estar formado por ondas, y que su tono estaba condicionado por la longitud de éstas. Las longitudes de onda de sonido cortas producían el efecto de un tono alto, y las longitudes de onda largas producían el efecto de un tono bajo.

Si un objeto que produce un ruido se acerca a nosotros, la longitudes de onda serán cada vez más cortas, y por ello, el tono será cada vez más elevado, por el contrario, si el objeto se aleja, las ondas pasarán a ser más largas, y cada vez lo escucharemos en un tono mejor. Esto es lo que se conoce como efecto Doppler.

Apenas unos años más tarde, un científico francés, Fizeau, dijo que el efecto Doppler era aplicable también a la luz, puesto que también era un fenómeno ondulatorio. Razonaba que si una fuente de luz se nos estuviese acercando, todas las longitudes de onda se harían más cortas. Por consiguiente, una línea oscura del espectro se desplazaría hacia el extremo de éste, y habría un "corrimiento hacia el violeta".

Si la fuente luminosa se estuviese alejando de nosotros, todas las longitudes de onda se harían más largas. Por lo tanto, una línea oscura del espectro se desplazaría hacia el extremo de éste, correspondiente a las longitudes de onda largas, y habría un "corrimiento hacia el rojo".

En lo que respecta a la luz, este cambio de la longitud de onda debido al movimiento de la fuente se conoce a veces como el efecto "Doppler-Fizeau".

Y ya tenemos el invento montado, con esta información sólo teníamos que obtener el espectro de cualquier fuente de luz para saber si se aleja o se acerca, el Sol fue la primera estrella de la que se obtuvo el espectro, pero pronto se haría con todas las estrellas que conocemos.

Con un telescopio, se capta la luz de las estrellas, y esta luz se pasa por un aparato llamado espectroscopio, así, la estrella Sirius, que presentaba longitudes de onda más largas que las obtenidas del Sol, indicativo de que Sirius se aleja de nosotros en el ángulo que sea, fue la primera observación de la velocidad radial de una estrella, ya que así se conoce este fenómeno.

En la tabla podemos ver la velocidad radial de algunas de las estrellas más próximas. Un signo positivo (+) indica un movimiento radial de aproximación hacia nosotros; un signo negativo (-), un movimiento radial de alejamiento de nosotros.

TABLA 25. -Velocidad radial de algunas estrellas próximas

Estrella

Velocidad radial (kilómetros/segundo)

Estrella de Kapteyn

+ 242

Luyten 726-8

+ 29

Ross 614

+ 24

Lacaille 8760

+ 23

Epsilon Eridani

+ 15

Groombridge 34

+ 14

Wolf 359

+13

Lacaille 9352

+ 10

Procyon

- 3

Ross 154

- 4

Sirius

- 8

Ross 128

- 13

Tau Ceti

- 16

Krüger 60

- 24

Alpha Centauri

- 25

Epsilon Indi

- 60

61 Cygni

- 64

Ross 248

- 81

Lalande 21185

- 86

Estrella de Barnard

- 108

La invención de la fotografía en 1840, así como otros avances, nos han permitido saber mucho más sobre el movimiento de las estrellas, en el año 1889 se dio un caso realmente curioso, la estrella Mizar daba alternativamente el resultado de acercarse y alejarse según el momento en que se midiese su espectro.

No parecía lógico pensar que una parte de la estrella se alejase y otra se acercase, la explicación es que estamos ante una estrella binaria que no puede ser distinguida con un telescopio, y ambas estrellas orbitaban una alrededor de la otra, de ahí los resultados espectrales.

El espectro estelar nos daba otra gran aplicación, descubrir estrellas binarias que no podíamos discernir de otro modo (de tipo binario espectral), pronto gracias a este sistema se descubrió que las estrellas binarias eran mucho más comunes de lo que pensábamos, y que incluso existían estrellas triples o incluso mucho más complejas. Las estrellas Cástor, por ejemplo, son un complejo sistema de seis estrellas.

Puede que haya quien se alarme al saber que hay muchas estrellas que se nos aproximan (hay alarmistas en todas partes), pero pueden estar tranquilos, el que una estrella se acerque no quiere decir que venga directa hacia nosotros, lo hace en un ángulo, de hecho, al pasar miles de años alcanzará el punto más cercano a la Tierra y pasará a alejarse, hasta que pasen de nuevo miles de años, y el baile estelar se vuelva a repetir.

Y en todo este proceso, un observador inmortal desde la Tierra apenas apreciaría un cambio muy pequeño en la magnitud de la luminosidad de la estrella, las probabilidades de que una estrella llegue a impactar con la Tierra son tan remotamente pequeñas que ni siquiera merece la pena tenerlas en cuenta.

El espectroscopio nos puede decir también lo que no es una binaria espectroscópica. Podemos decir, mediante la inspección telescópica ordinaria, que Alpha Centauri es un sistema de tres estrellas. ¿Es cualquiera de las tres una binaria espectroscópica? Alpha Centauri A, B y C no poseen compañeras muy próximas y, por lo tanto, se queda en un sistema de tres estrellas.

Si quieres saber más sobre este tema, te recomiendo el libro “Alpha Centauri: La estrella más próxima” de Isaac Asimov, libro en el que me he basado para realizar esta aproximación al espectro de las estrellas.

Los proyectos abuelos de la inteligencia artificial, como venimos viendo, se inician lentamente en la época de la ilustración; pero poco a poco, la comunidad científica se va dando cuenta de que sus expectativas eran demasiado ambiciosas y que nunca serían satisfechas. Como hemos visto hubo varios toques de atención a este proyecto y tras la intervención de Gödel queda herido de muerte; en este punto quedó definitivamente claro que no es posible crear un sistema axiomático con amplia capacidad expresiva que sea coherente y completo al mismo tiempo; si el sistema es consistente me encontraré con que hay ideas verdaderas expresables en mi lenguaje que no se pueden demostrar.

Antes de seguir avanzando por los derroteros de la Inteligencia Artificial, aún tenemos que hablar de un genio llamado Allan Turing, me gustaría meditar en alto sobre alguna cuestión que considero de importancia sobre la significación de lo que ya hemos dicho anteriormente. Solicito la colaboración de quien quiera participar porque ya os digo que este artículo encierra mi opinión y yo no puedo más que expresar una opinión intuitiva pero mis conocimientos de la lógica no llegan muy lejos; así que este artículo está abierto al debate y la colaboración.

Lo que me interesa investigar son las relaciones entre la semántica y la sintáctica; en lo que puedan afectar al programa de Hilbert y a la respuesta de Gödel.

Mi intuición es que en el fondo, el programa de Hilbert pretende encerrar todo el conocimiento acerca del mundo en una estructura sintáctica; en concreto en una teoría axiomática; si esto fuera posible, una vez creado este sistema, el conocimiento se podría transmitir a cualquier persona (e incluso máquina) simplemente transmitiendo el contenido de los axiomas y dando unas sencillas normas de cálculo lógico a partir de las cuales podamos extraer nuevos conocimientos de los axiomas.

Veamos lo que esto significa. Cualquier investigación sobre el tema de la teoría sería una investigación lógica; esto significa que si yo tengo una Teoría axiomática de la biología, por ejemplo, cualquier cosa que yo quiera encontrar, pongamos "una cura para la gripe", la encontraría en alguna de las ideas que se derivan lógicamente de los axiomas, sencillamente no tendría que ir por el mundo testeando a ratas griposas de laboratorio con distintos antígenos, sería suficiente con sentarme en la comodidad de mi cuarto con un papel y un lápiz, unos cuantos axiomas, y un poco de paciencia... Veamos, iría formulando ideas como "la penicilina cura la gripe", "el acido acetilsalicílico cura la gripe" "La vitamina C cura la gripe"... así recursivamente; luego vería si dichas ideas se derivan o no lógicamente de los axiomas; si encuentro alguna que se derive de los axiomas sencillamente ¡Habré encontrado la vacuna de la gripe! y lo mejor de todo es que tendría que funcionar aunque no la haya probado nunca; si por un casual no funcionara eso será que está mal la teoría, pero no el método. Bien, ¿esto es intuitivo o contraintiuitivo? Bueno, pensad que si yo conozco el peso de un objeto y las características físicas de una grúa, puedo saber, de antemano, si la grúa podrá levantar el peso, a cuánta altura podrá levantarlo, en cuánto tiempo, si oscilará etc... y las operaciones que realizo para saberlo son puro cálculo. Esta idea llevada a su mayor radicalidad permitiría axiomatizar la física entera; cosa que a día de hoy, es una ambición perfectamente reconocida por algunos físicos teóricos, que de paso anuncian la muerte de la filosofía.

Pero si esto fuera realmente posible (ya sabemos que no lo es) ¿Qué implicaciones tendría para la lógica?

Por un lado ¿Dónde quedaría la semántica? Si resulta que cualquier proposición demostrable dentro de mi Teoría, fuera una proposición verdadera, y que cualquier proposición verdadera fuera demostrable dentro de la Teoría. Entonces ¿Para qué necesitamos la semántica? En mi opinión se confundirían la verdad y la derivabilidad lógica.

Pero eso no implica que la semantica desapareciera del todo. Si consideramos a la semántica como una correlación entre las ideas (expresables en mi Teoría) y el mundo, entonces resulta que la semántica dejaría de ser un criterio de conocimiento en favor a la demostrabilidad, dado que, a efectos de conocimiento, ya no importaría la verdad o falsedad de una proposición sino su derivabilidad lógica. Pero quizá la semántica tendría aún alguna utilidad, por ejemplo a la hora de ejecutar las ideas; pero si hemos axiomatizado el movimiento ¿no será también este una cuestión sintáctica?... Entonces ¿Serviría de algo la semántica? Para responder a esta cuestión supongo que habrá que tener en cuenta la distinción entre partículas lógicas y partículas no lógicas, las primeras son los operadores booleanos (y, o) y otros como la implicación etc... (vean que voy un poco pensando en alto), las últimas son constantes o variables, sólo respecto de este tipo de partículas, las no lógicas, es necesaria la semántica. En mi opinión la semántica tendría importancia en la formulización de los axiomas y en la comprensión de las fórmulas derivadas. Todo se volvería exclusivamente un problema de interpretación de las partículas no lógicas y quizá de ahí venga la preocupación de algunos como Russell de definir nombres unívocos etc...

Por otro lado ¿Que nos diría esto acerca de la estructura del mundo? Pues que el mundo estaría estructurado lógicamente, esto tiene que ser así porque lo que estamos ambicionando es un sistema sintáctico con capacidad comprensora, con capacidad de tener conocimiento acerca del mundo, y no cualquier conocimiento sinó un conocimiento total; si el mundo no se estructurase lógicamente este tipo de ambición sería ilusoria. Pero pero esa estructura lógica sería la misma lógica que usamos nosotros los humanos, hijos de una civiliación enana que está perdida en la basta magnitud del Universo. Esto os puede parecer extraño o no, alguno dirá, "bueno, a mi me resultaría sorprendente que el mundo no tuviera ninguna lógica" ciertamente, pero lo que a mi me sorprendería es que nosotros alcanzáramos esa misma lógica del Universo; la cuestión es; ¿esa lógica que supuestamente tiene el mundo es nuestra? ¿No es un poco raro que nosotros siendo lo más minúsculo del Universo tengamos esa ingente capacidad comprensora de TODO el Universo? ¿No será más bien que vemos las cosas como somos y no cómo realmente son? Quizá seamos nosotros los que ponemos ahí, delante de nosotros, nuestra lógica con los materiales que el mundo nos ofrece. En mi opinión, el que nosotros comprendamos la estructura lógica del mundo sería muy raro ya que ¿Porqué vamos a venir nosotros equipados, ya de mano, con una lógica del mundo? O quizás es que nosotros nos limitamos a aprenderla; pero esto tampoco es menos sorprendente ¿Esa lógica del mundo será compatible con la nuestra? Es decir, obviamente nosotros pensamos de forma lógica, si algo no se adecúa a esa lógica no podemos entenderlo; nos sonará, y no es casualidad que diga esto, a física cuántica o algo así ¿no se producirán inconsistencias si intento introducir un esquema lógico distinto a aquel con el que pienso? ¿Acaso podré modificar mi sistema lógico desde la base? o ¿acaso tendré que construir una inteligencia aritificial con esa lógica del mundo y a la que pueda preguntar? Aunque, en mi opinión, esta lógica del mundo tendrá que ser algún tipo de lógica paraconsistente muy avanzada.

Bien, todo este proyecto se vio frustrado; a pesar de que algunos no parecen querer verlo; por Gödel y sus Teoremas de incompletud. En mi opinión lo que Gödel demostró es que la noción sintáctica de demostrabilidad lógica y la noción semántica de verdad son distintas, no se solapan en una Teoría axiomática con alta capacidad expresiva, o no todo lo demostrable es verdadero o no todo lo verdadero es demostrable. Por tanto, para tener un conocimiento completo tengo que trabajar con ambas nociones y en última instancia lo que importa es lo verdadero, porque sobre él voy a construir mi conocimiento, así nos comportamos nosotros, o al menos eso parece. Esto tiene el problema de que el mundo de lo verdadero es mucho más esquivo e inseguro que el mundo de lo demostrable. Si en el mundo de lo demostrable mi conocimiento sobre un tema viene apoyado en una demostración lógica, algo que es unívoco, objetivo, firme. En el mundo de lo verdadero mi conocimiento sobre un tema viene asentado en una creencia verdadera y justificada (a pesar de Guettier); lo cual nos deja en el terrible problema de cómo justifico una creencia. En algunos casos será gracias a una demostración lógica, claro; pero como hemos visto, esto no siempre será posible... Si tenemos en cuenta que, como decía Wittgenstein, la mera presencia de algo no es fundamento de nada, y que mi conocimiento pasado sobre un hecho no es suficiente por si sólo para justificar mi creencia sobre hechos nuevos; nos quedamos atados a la única sólución posible que es convertir el conocimiento en algo normativo, en algo que depende de mi comunidad.

Intentando extender las implicaciones del Teorema de Gödel hacia el debate en torno a la posibilidad o no de una Inteligencia Artificial semejante a la humana; algún autor, en concreto Penrose, ha defendido que precisamente el Teorema de Gödel excluye este proyecto dado que demuestra que hay verdades que son comprensibles intuitivamente por el hombre y que, al no ser demostrables, nunca podrían ser asumidas por una Inteligencia artificial, que es, en principio, un aparato puramente mecánico que sólo trabaja con una sintáctica. Este argumento falla en la base porque realmente el Teorema de Gödel no demuestra la incompletud de la aritmética, (esto es, que hay verdades que no son demostrables) sino que "si la aritmética es consistente entonces es incompleta", pero es que el último Teorema de Gödel dice que "Si la aritmética es consistente entonces es indemostrable su consistencia" por lo tanto, el argumento de Penrose no puede ser usado, dado que nos exige creer, como petición de principio, que la aritmética es consistente.

Ahora bien, esto me ha hecho pensar. Lo que yo me pregunto ahora es ¿Una máquina de IA es un sistema puramente sintáctico o es capaz de trabajar con una semántica? Esta es en mi opinión una cuestión importante para el debate sobre la IA.

Si un sistema informático no puede trabajar con una semántica podrían suceder dos cosas, o que el mundo tuviera una estructura lógica que fuera expresable en una Teoría axiomática, entonces estas máquinas tendrían, o podrían tener una inteligencia similar a la humana; en este caso habría que considerar la posibilidad de que nosotros fueramos mecanismos puramente sintácticos, con una minisemántica dedicada a la interpretación, pero que no fundamentaría el conocimiento. O puede ser, por el contrario, que el mundo no tenga una estructura lógica y que por tanto un aparato puramente sintáctico no pueda comprenderlo por entero; en este caso el conocimiento se basaría en la semántica, y entonces la semántica y la sintáctica se moverían en campos bien distintos; además, como hemos postulado que la máquina no podrá entender conceptos; entonces sencillamente una máquina nunca podría tener la misma inteligencia que un ser humano.

Pero es posible que las máquinas puedan empezar, en algún momento, a manejar conceptos; probablemente conceptos que ellas mismas hayan creado, en una especie de inteligencia enjambre; considero que en este último caso, las máquinas podrían ser consideradas inteligentes y empezarían a trabajar con una semántica creada colectivamente. Esto no puede resultar extraño si tenemos en cuenta los resultados de la investigación del segundo Wittgenstein; la semántica es en esencia el resultado de juegos del lenguaje que se practícan en una comunidad, por tanto la semántica es algo social. Es decir lo que defiendo es que la semántica es un elemento emergente que surge de distintos aparatos sintácticos que trabajan en una red distribuída y crean o modifican por sí un lenguaje. Daros cuenta de que este último requisito del enjambre es perfectamente factible a día de hoy internet no es más que una red distribuída de máquinas universales de Turing; lo único que les falta a estas máquinas es crear una semántica; y esto quizá llegue con las ontologías web, al menos estas serán la base de la misma.

Aprovecho para decir que, en mi opinión la prueba de Turing, que ya explicaremos, no demuestra nada y falla en muchos aspectos, por un lado identifica la inteligencia con la inteligencia lingüística, cuando desde Andy Clark, esa identificación es inexacta, por otro lado niega inteligencia a seres que se han considerado con una inteligencia media, como los chimpancés, etc y que obviamente no superarían la prueba. Por otro lado considera inteligentes a sistemas que como Searle ha demostrado, están lejos de serlo.

En mi opinión la prueba que deba demostrar capacidades inteligentes en las máquinas ha de ser una prueba que se base en la compentencia o incompetencia de las máquinas en cooperar en red con otras máquinas para resolver problemas complejos para los que no estén programadas, usando para ello conceptos propios; obviamente es una prueba de difícil diseño, y que tendrá que tener en cuenta si están programadas para resolver problemas similares y cual es exactamente el grado de similitud de esos problemas.

La cuestión es ¿Podrán las máquinas crear una semántica propia? Porque si es así, yo os puedo asegurar que tarde o temprano alcanzaran una inteligencia no igual quizás, no exactamente igual a la nuestra, pero probablemente comparable e incluso hasta superior.

Y no es por asustar pero quizás el proceso ya haya empezado... (aunque claro, el usar nombres no es igual que entender conceptos.... Pero habelas hainas)

Los proyectos abuelos de la inteligencia artificial, como venimos viendo, se inician lentamente en la época de la ilustración; pero poco a poco, la comunidad científica se va dando cuenta de que sus expectativas eran demasiado ambiciosas y que nunca serían satisfechas. Como hemos visto hubo varios toques de atención a este proyecto y tras la intervención de Gödel queda herido de muerte; en este punto quedó definitivamente claro que no es posible crear un sistema axiomático con amplia capacidad expresiva que sea coherente y completo al mismo tiempo; si el sistema es consistente me encontraré con que hay ideas verdaderas expresables en mi lenguaje que no se pueden demostrar.

Antes de seguir avanzando por los derroteros de la Inteligencia Artificial, aún tenemos que hablar de un genio llamado Allan Turing, me gustaría meditar en alto sobre alguna cuestión que considero de importancia sobre la significación de lo que ya hemos dicho anteriormente. Solicito la colaboración de quien quiera participar porque ya os digo que este artículo encierra mi opinión y yo no puedo más que expresar una opinión intuitiva pero mis conocimientos de la lógica no llegan muy lejos; así que este artículo está abierto al debate y la colaboración.

Lo que me interesa investigar son las relaciones entre la semántica y la sintáctica; en lo que puedan afectar al programa de Hilbert y a la respuesta de Gödel.

Mi intuición es que en el fondo, el programa de Hilbert pretende encerrar todo el conocimiento acerca del mundo en una estructura sintáctica; en concreto en una teoría axiomática; si esto fuera posible, una vez creado este sistema, el conocimiento se podría transmitir a cualquier persona (e incluso máquina) simplemente transmitiendo el contenido de los axiomas y dando unas sencillas normas de cálculo lógico a partir de las cuales podamos extraer nuevos conocimientos de los axiomas.

Veamos lo que esto significa. Cualquier investigación sobre el tema de la teoría sería una investigación lógica; esto significa que si yo tengo una Teoría axiomática de la biología, por ejemplo, cualquier cosa que yo quiera encontrar, pongamos "una cura para la gripe", la encontraría en alguna de las ideas que se derivan lógicamente de los axiomas, sencillamente no tendría que ir por el mundo testeando a ratas griposas de laboratorio con distintos antígenos, sería suficiente con sentarme en la comodidad de mi cuarto con un papel y un lápiz, unos cuantos axiomas, y un poco de paciencia... Veamos, iría formulando ideas como "la penicilina cura la gripe", "el acido acetilsalicílico cura la gripe" "La vitamina C cura la gripe"... así recursivamente; luego vería si dichas ideas se derivan o no lógicamente de los axiomas; si encuentro alguna que se derive de los axiomas sencillamente ¡Habré encontrado la vacuna de la gripe! y lo mejor de todo es que tendría que funcionar aunque no la haya probado nunca; si por un casual no funcionara eso será que está mal la teoría, pero no el método. Bien, ¿esto es intuitivo o contraintiuitivo? Bueno, pensad que si yo conozco el peso de un objeto y las características físicas de una grúa, puedo saber, de antemano, si la grúa podrá levantar el peso, a cuánta altura podrá levantarlo, en cuánto tiempo, si oscilará etc... y las operaciones que realizo para saberlo son puro cálculo. Esta idea llevada a su mayor radicalidad permitiría axiomatizar la física entera; cosa que a día de hoy, es una ambición perfectamente reconocida por algunos físicos teóricos, que de paso anuncian la muerte de la filosofía.

Pero si esto fuera realmente posible (ya sabemos que no lo es) ¿Qué implicaciones tendría para la lógica?

Por un lado ¿Dónde quedaría la semántica? Si resulta que cualquier proposición demostrable dentro de mi Teoría, fuera una proposición verdadera, y que cualquier proposición verdadera fuera demostrable dentro de la Teoría. Entonces ¿Para qué necesitamos la semántica? En mi opinión se confundirían la verdad y la derivabilidad lógica.

Pero eso no implica que la semantica desapareciera del todo. Si consideramos a la semántica como una correlación entre las ideas (expresables en mi Teoría) y el mundo, entonces resulta que la semántica dejaría de ser un criterio de conocimiento en favor a la demostrabilidad, dado que, a efectos de conocimiento, ya no importaría la verdad o falsedad de una proposición sino su derivabilidad lógica. Pero quizá la semántica tendría aún alguna utilidad, por ejemplo a la hora de ejecutar las ideas; pero si hemos axiomatizado el movimiento ¿no será también este una cuestión sintáctica?... Entonces ¿Serviría de algo la semántica? Para responder a esta cuestión supongo que habrá que tener en cuenta la distinción entre partículas lógicas y partículas no lógicas, las primeras son los operadores booleanos (y, o) y otros como la implicación etc... (vean que voy un poco pensando en alto), las últimas son constantes o variables, sólo respecto de este tipo de partículas, las no lógicas, es necesaria la semántica. En mi opinión la semántica tendría importancia en la formulización de los axiomas y en la comprensión de las fórmulas derivadas. Todo se volvería exclusivamente un problema de interpretación de las partículas no lógicas y quizá de ahí venga la preocupación de algunos como Russell de definir nombres unívocos etc...

Por otro lado ¿Que nos diría esto acerca de la estructura del mundo? Pues que el mundo estaría estructurado lógicamente, esto tiene que ser así porque lo que estamos ambicionando es un sistema sintáctico con capacidad comprensora, con capacidad de tener conocimiento acerca del mundo, y no cualquier conocimiento sinó un conocimiento total; si el mundo no se estructurase lógicamente este tipo de ambición sería ilusoria. Pero pero esa estructura lógica sería la misma lógica que usamos nosotros los humanos, hijos de una civiliación enana que está perdida en la basta magnitud del Universo. Esto os puede parecer extraño o no, alguno dirá, "bueno, a mi me resultaría sorprendente que el mundo no tuviera ninguna lógica" ciertamente, pero lo que a mi me sorprendería es que nosotros alcanzáramos esa misma lógica del Universo; la cuestión es; ¿esa lógica que supuestamente tiene el mundo es nuestra? ¿No es un poco raro que nosotros siendo lo más minúsculo del Universo tengamos esa ingente capacidad comprensora de TODO el Universo? ¿No será más bien que vemos las cosas como somos y no cómo realmente son? Quizá seamos nosotros los que ponemos ahí, delante de nosotros, nuestra lógica con los materiales que el mundo nos ofrece. En mi opinión, el que nosotros comprendamos la estructura lógica del mundo sería muy raro ya que ¿Porqué vamos a venir nosotros equipados, ya de mano, con una lógica del mundo? O quizás es que nosotros nos limitamos a aprenderla; pero esto tampoco es menos sorprendente ¿Esa lógica del mundo será compatible con la nuestra? Es decir, obviamente nosotros pensamos de forma lógica, si algo no se adecúa a esa lógica no podemos entenderlo; nos sonará, y no es casualidad que diga esto, a física cuántica o algo así ¿no se producirán inconsistencias si intento introducir un esquema lógico distinto a aquel con el que pienso? ¿Acaso podré modificar mi sistema lógico desde la base? o ¿acaso tendré que construir una inteligencia aritificial con esa lógica del mundo y a la que pueda preguntar? Aunque, en mi opinión, esta lógica del mundo tendrá que ser algún tipo de lógica paraconsistente muy avanzada.

Bien, todo este proyecto se vio frustrado; a pesar de que algunos no parecen querer verlo; por Gödel y sus Teoremas de incompletud. En mi opinión lo que Gödel demostró es que la noción sintáctica de demostrabilidad lógica y la noción semántica de verdad son distintas, no se solapan en una Teoría axiomática con alta capacidad expresiva, o no todo lo demostrable es verdadero o no todo lo verdadero es demostrable. Por tanto, para tener un conocimiento completo tengo que trabajar con ambas nociones y en última instancia lo que importa es lo verdadero, porque sobre él voy a construir mi conocimiento, así nos comportamos nosotros, o al menos eso parece. Esto tiene el problema de que el mundo de lo verdadero es mucho más esquivo e inseguro que el mundo de lo demostrable. Si en el mundo de lo demostrable mi conocimiento sobre un tema viene apoyado en una demostración lógica, algo que es unívoco, objetivo, firme. En el mundo de lo verdadero mi conocimiento sobre un tema viene asentado en una creencia verdadera y justificada (a pesar de Guettier); lo cual nos deja en el terrible problema de cómo justifico una creencia. En algunos casos será gracias a una demostración lógica, claro; pero como hemos visto, esto no siempre será posible... Si tenemos en cuenta que, como decía Wittgenstein, la mera presencia de algo no es fundamento de nada, y que mi conocimiento pasado sobre un hecho no es suficiente por si sólo para justificar mi creencia sobre hechos nuevos; nos quedamos atados a la única sólución posible que es convertir el conocimiento en algo normativo, en algo que depende de mi comunidad.

Intentando extender las implicaciones del Teorema de Gödel hacia el debate en torno a la posibilidad o no de una Inteligencia Artificial semejante a la humana; algún autor, en concreto Penrose, ha defendido que precisamente el Teorema de Gödel excluye este proyecto dado que demuestra que hay verdades que son comprensibles intuitivamente por el hombre y que, al no ser demostrables, nunca podrían ser asumidas por una Inteligencia artificial, que es, en principio, un aparato puramente mecánico que sólo trabaja con una sintáctica. Este argumento falla en la base porque realmente el Teorema de Gödel no demuestra la incompletud de la aritmética, (esto es, que hay verdades que no son demostrables) sino que "si la aritmética es consistente entonces es incompleta", pero es que el último Teorema de Gödel dice que "Si la aritmética es consistente entonces es indemostrable su consistencia" por lo tanto, el argumento de Penrose no puede ser usado, dado que nos exige creer, como petición de principio, que la aritmética es consistente.

Ahora bien, esto me ha hecho pensar. Lo que yo me pregunto ahora es ¿Una máquina de IA es un sistema puramente sintáctico o es capaz de trabajar con una semántica? Esta es en mi opinión una cuestión importante para el debate sobre la IA.

Si un sistema informático no puede trabajar con una semántica podrían suceder dos cosas, o que el mundo tuviera una estructura lógica que fuera expresable en una Teoría axiomática, entonces estas máquinas tendrían, o podrían tener una inteligencia similar a la humana; en este caso habría que considerar la posibilidad de que nosotros fueramos mecanismos puramente sintácticos, con una minisemántica dedicada a la interpretación, pero que no fundamentaría el conocimiento. O puede ser, por el contrario, que el mundo no tenga una estructura lógica y que por tanto un aparato puramente sintáctico no pueda comprenderlo por entero; en este caso el conocimiento se basaría en la semántica, y entonces la semántica y la sintáctica se moverían en campos bien distintos; además, como hemos postulado que la máquina no podrá entender conceptos; entonces sencillamente una máquina nunca podría tener la misma inteligencia que un ser humano.

Pero es posible que las máquinas puedan empezar, en algún momento, a manejar conceptos; probablemente conceptos que ellas mismas hayan creado, en una especie de inteligencia enjambre; considero que en este último caso, las máquinas podrían ser consideradas inteligentes y empezarían a trabajar con una semántica creada colectivamente. Esto no puede resultar extraño si tenemos en cuenta los resultados de la investigación del segundo Wittgenstein; la semántica es en esencia el resultado de juegos del lenguaje que se practícan en una comunidad, por tanto la semántica es algo social. Es decir lo que defiendo es que la semántica es un elemento emergente que surge de distintos aparatos sintácticos que trabajan en una red distribuída y crean o modifican por sí un lenguaje. Daros cuenta de que este último requisito del enjambre es perfectamente factible a día de hoy internet no es más que una red distribuída de máquinas universales de Turing; lo único que les falta a estas máquinas es crear una semántica; y esto quizá llegue con las ontologías web, al menos estas serán la base de la misma.

Aprovecho para decir que, en mi opinión la prueba de Turing, que ya explicaremos, no demuestra nada y falla en muchos aspectos, por un lado identifica la inteligencia con la inteligencia lingüística, cuando desde Andy Clark, esa identificación es inexacta, por otro lado niega inteligencia a seres que se han considerado con una inteligencia media, como los chimpancés, etc y que obviamente no superarían la prueba. Por otro lado considera inteligentes a sistemas que como Searle ha demostrado, están lejos de serlo.

En mi opinión la prueba que deba demostrar capacidades inteligentes en las máquinas ha de ser una prueba que se base en la compentencia o incompetencia de las máquinas en cooperar en red con otras máquinas para resolver problemas complejos para los que no estén programadas, usando para ello conceptos propios; obviamente es una prueba de difícil diseño, y que tendrá que tener en cuenta si están programadas para resolver problemas similares y cual es exactamente el grado de similitud de esos problemas.

La cuestión es ¿Podrán las máquinas crear una semántica propia? Porque si es así, yo os puedo asegurar que tarde o temprano alcanzaran una inteligencia no igual quizás, no exactamente igual a la nuestra, pero probablemente comparable e incluso hasta superior.

Y no es por asustar pero quizás el proceso ya haya empezado... (aunque claro, el usar nombres no es igual que entender conceptos.... Pero habelas hainas)

Como hemos dicho en los dos artículos anteriores era urgente encontrar una demostración absoluta de la consistencia y completud de la Teoría aritmética propuesta por Peano (de la que ya hemos hablado) . El modo en el que Gödel se enfrenta a esta cuestión se relaciona directamente con la falaz “Paradoja richardiana” pero evitando el carácter falaz en que incurría Richard. Veamos cómo lo hizo.

El mérito de este chaval de 25 años, de apellido ilustre es prácticamente inefable, y no sé yo si eso será por las implicaciones de su teorema. Pero se le ha reconocido como el descubridor de una de las verdades matemáticas más incontetables de todos los tiempos; intentaremos entenderla.

Gödel consigue construir un método capaz de hablar acerca de las mátemáticas pero dentro de la propia aritmética. Veamos, alguna vez habréis oído decir que la matemática es un lenguaje, se habla del lenguaje matemático. Bien, la cuestión es ¿Qué se puede expresar con ese lenguaje? Ciertamente nos estamos preguntando por la capacidad expresiva del mismo (concepto que ya conocéis del primer artículo) Si yo digo "1+2=3" estoy expresando una idea con un lenguaje matemático. ¿Pero puedo expresar la propiedad conmunatativa de la suma con este lenguaje? Al decir que "Sumar '1+2' es lo mismo que sumar '2+1'" estoy expresando una idea acerca de las matemáticas, pero no la expreso matemáticamente sino en simple castellano ¿Sería posible expresarla con el propio lenguaje matemático? ¿Será posible usar la matemática para hablar de propiedades de la matemática misma? Esta es la auténtica cuestión y no porque tengamos un gusto fetichista por las matemáticas sino porque el auténtico problema aquí, era encontrar una demostración absoluta de la consistencia de la aritmética de Peano; y una demostración absoluta es aquella demostración que no depende de ningún otro sistema (Precisamente Peano había demostrado la consistencia de la geometría euclidiana pero desde la aritmética de Peano) Gödel fue el primero al que se le ocurrio una forma de hablar de la aritmética de Peano pero con la misma aritmética de Peano; ¿Y qué es lo que había que poder decir? Pues que "La aritmética de Peano es consistente"... Valla, algunos empezarán a recordar a Russell y sus metaconjuntos. Para hacer esto Gödel inventó un procedimiento que posteriormente se convertirá en una herramienta fundamental de la criptografía, no lo vamos a explicar; se ha llamado gödelización y en el enlace está bien explicado.

Sigamos una breve exposición del Teorema de Gödel. Debemos partir de la aritmética de Peano; que como sabemos tiene una serie de axiomas de los que se deriva lógicamente toda (bueno esto no lo sabemos todavía) o casi toda la matemática. El proceso de Gödelización es utilizado aquí para traducir las ideas contenidas en esos axiomas (que estaban expresadas en lenguaje natural). A cualquier idea que no sea un axioma y que esté expresada matemáticamente con ese proceso de Gödelización le llamaremos fórmula; y puede o no derivarse lógicamente de los axiomas; si conseguimos encontrar una vía para llegar de los axiomas hasta esa misma fórmula o su negación, habremos encontrado una demostración de dicha formula (o de su negación); así de simple. (Pongamos que tenemos la fórmula "2+1=3" queremos demostrarlo, bueno imaginamos que tenemos como axiomas que "1+1=2" y "1+1+1=3" ¿A alguien se le ocurre una demostración?). Bueno, empecemos, intentaré no volveros locos, pero no prometo nada; vamos a dividir la demostración en cinco partes, a ver si así se hace menos indigesta:

(I) Gödel construye una proposición G que dice de si misma que no es demostrable; podemos escribirlo así G= “Para toda fórmula x, x no es una demostración de G” (prescindiremos del tema de la gödelización, no es necesario para entenderlo).

(II) Nos preguntamos si G es demostrable. Veamos para que G sea demostrable tiene que haber una fórmula que haga derivar logicamente G de los axiomas de la aritmética de Peano, esto es, que haga derivar de los axiomas, y ahora sustituyo sólo "G" por lo que dice G, que "Para toda fórmula x, x no es una demostración de G" bueno, esto no puede ser; porque si admitiéramos la existencia de dicha fórmula admitiríamos la demostración de una fórmula falsa y eso sería una inconsistencia, cosa que precisamente estábamos llamados a evitar. Parece pues que G no tiene demostración. Pero es que si demuestro que no existe ninguna fórmula que sea demostración de G esa misma demostración de que no existe ninguna de estas fórmulas será una fórmula, obviamente, algo así como "no existe demostración de G" pues bien, esa fórmula será la demostración de que "Para toda fórmula x, x no es una demostración de G" es decir, y vuelvo a sustitur, será una demostración de G. Entonces llegamos a la inconstatable verdad aunque sea contraria a la razón de que para que G no sea demostrable es preciso que G sea demostrable; esto nos lleva a una situación insostenible parecida pero no igual a la que ya comentamos en el artículo anterior provocada por nuestro amigo Russell. Es decir en realidad no es posible encontrar un procedimiento para decidir si G es o no demostrable, luego G es indecidible (ya explicamos la indecidibilidad en el artículo uno).

(III) Nos preguntamos sobre la verdad o falsedad de G; Si lo pensamos un poco, no es que sea fácil, podemos darnos cuenta de que G es intuitivamente verdadera, precisamente porque dice de si misma que no es demostrable y en realidad no es demostrable, ya lo hemos visto, no podemos encontrar un sistema para demostrar G, y ello es así aunque no podamos demostrar que no sea demostrable... en fin que esta situación verdaderamente extraña ha permitido a algunos, y en concreto a Penrose considerar que la inteligencia humana, que es capaz de intuír la verdad de una fórmula como G, es muy superior a las herramientas lógicas más avanzadas, dado que estas no pueden dar cuenta de la demostrabilidad de tal fórmula (no os he explicado, y eso quedará para un posterior artículo, la relación entre verdad y derivabilidad lógica).

(IV) Nos preguntamos si toda fórmula verdadera es demostrable dentro de la aritmética de Peano; es decir, nos preguntamos por la Completud de la aritmética. Resulta que G es una fórmula verdadera que no es demostrable dentro de la aritmética, ya lo hemos visto, luego no toda fórmula verdadera es demostrable (al menos G no lo es); por tanto la noción de verdad no es coincidente con la de demostrabilidad lógica en un sistema con la capacidad expresiva de la aritmética de Peano; tenemos que, si la aritmética es consistente, entonces es incompleta (es importante el condicional del principio, "si la aritmética es consistente" si volvemos al párrafo II veremos que descartamos una de las opciones porque sino crearíamos una inconsistencia, pero es que a lo mejor resulta que no podemos descartar esa opción). Además Gödel demuestra que la Aritmética de Peano y cualquier otro sistema que tenga la suficiente capacidad expresiva para decir G es esencialmente incompleto, porque aunque añadamos la proposición G como axioma, es reproducible la misma situación, con un procedimiento parecido.

(V) Intentamos una demostración absoluta de la consistencia de la Aritmética de Peano. Acabamos de afirmar que “si la Aritmética es consistente entonces es incompleta” ello es una proposición metamatemática expresable, a su vez, dentro de la Aritmética, y por tanto podemos preguntarnos por su demostrabilidad. Pero necesitamos saber primero si efectivamente "la aritmética es consistente", llamaremos A a la formula que dice que "la aritmética es consistente". Además podemos aceptar que el ".... es incompleta" se puede sustituir por "existe al menos una fórmula verdadera de la aritmética que no es demostrable" lo cual, aceptenme esto sin más, es equivalente a G. Por tanto podemos traducir esta proposición por la siguiente, "Si A entonces G" Gödel demuestra, por un procedimiento que no vamos a ver, que esta última proposición es demostrable dentro de la aritmética.

Ahora podemos demostrar que A no es demostrable dado que si lo fuese, también sería demostrable G, y eso no puede ser salvo que creemos una inconsistencia, como ya hemos visto en II; por tanto aceptamos que si la aritmética es consistente entonces A no es demostrable. Es decir, si la aritmética es consistente entonces es indemostrable.

Las implicaciones de este teorema las explicaremos en otro artículo, para no alargarnos mucho.

Espero no haberos liado mucho la cabeza...

Como hemos dicho en los dos artículos anteriores era urgente encontrar una demostración absoluta de la consistencia y completud de la Teoría aritmética propuesta por Peano (de la que ya hemos hablado) . El modo en el que Gödel se enfrenta a esta cuestión se relaciona directamente con la falaz “Paradoja richardiana” pero evitando el carácter falaz en que incurría Richard. Veamos cómo lo hizo.

El mérito de este chaval de 25 años, de apellido ilustre es prácticamente inefable, y no sé yo si eso será por las implicaciones de su teorema. Pero se le ha reconocido como el descubridor de una de las verdades matemáticas más incontetables de todos los tiempos; intentaremos entenderla.

Gödel consigue construir un método capaz de hablar acerca de las mátemáticas pero dentro de la propia aritmética. Veamos, alguna vez habréis oído decir que la matemática es un lenguaje, se habla del lenguaje matemático. Bien, la cuestión es ¿Qué se puede expresar con ese lenguaje? Ciertamente nos estamos preguntando por la capacidad expresiva del mismo (concepto que ya conocéis del primer artículo) Si yo digo "1+2=3" estoy expresando una idea con un lenguaje matemático. ¿Pero puedo expresar la propiedad conmunatativa de la suma con este lenguaje? Al decir que "Sumar '1+2' es lo mismo que sumar '2+1'" estoy expresando una idea acerca de las matemáticas, pero no la expreso matemáticamente sino en simple castellano ¿Sería posible expresarla con el propio lenguaje matemático? ¿Será posible usar la matemática para hablar de propiedades de la matemática misma? Esta es la auténtica cuestión y no porque tengamos un gusto fetichista por las matemáticas sino porque el auténtico problema aquí, era encontrar una demostración absoluta de la consistencia de la aritmética de Peano; y una demostración absoluta es aquella demostración que no depende de ningún otro sistema (Precisamente Peano había demostrado la consistencia de la geometría euclidiana pero desde la aritmética de Peano) Gödel fue el primero al que se le ocurrio una forma de hablar de la aritmética de Peano pero con la misma aritmética de Peano; ¿Y qué es lo que había que poder decir? Pues que "La aritmética de Peano es consistente"... Valla, algunos empezarán a recordar a Russell y sus metaconjuntos. Para hacer esto Gödel inventó un procedimiento que posteriormente se convertirá en una herramienta fundamental de la criptografía, no lo vamos a explicar; se ha llamado gödelización y en el enlace está bien explicado.

Sigamos una breve exposición del Teorema de Gödel. Debemos partir de la aritmética de Peano; que como sabemos tiene una serie de axiomas de los que se deriva lógicamente toda (bueno esto no lo sabemos todavía) o casi toda la matemática. El proceso de Gödelización es utilizado aquí para traducir las ideas contenidas en esos axiomas (que estaban expresadas en lenguaje natural). A cualquier idea que no sea un axioma y que esté expresada matemáticamente con ese proceso de Gödelización le llamaremos fórmula; y puede o no derivarse lógicamente de los axiomas; si conseguimos encontrar una vía para llegar de los axiomas hasta esa misma fórmula o su negación, habremos encontrado una demostración de dicha formula (o de su negación); así de simple. (Pongamos que tenemos la fórmula "2+1=3" queremos demostrarlo, bueno imaginamos que tenemos como axiomas que "1+1=2" y "1+1+1=3" ¿A alguien se le ocurre una demostración?). Bueno, empecemos, intentaré no volveros locos, pero no prometo nada; vamos a dividir la demostración en cinco partes, a ver si así se hace menos indigesta:

(I) Gödel construye una proposición G que dice de si misma que no es demostrable; podemos escribirlo así G= “Para toda fórmula x, x no es una demostración de G” (prescindiremos del tema de la gödelización, no es necesario para entenderlo).

(II) Nos preguntamos si G es demostrable. Veamos para que G sea demostrable tiene que haber una fórmula que haga derivar logicamente G de los axiomas de la aritmética de Peano, esto es, que haga derivar de los axiomas, y ahora sustituyo sólo "G" por lo que dice G, que "Para toda fórmula x, x no es una demostración de G" bueno, esto no puede ser; porque si admitiéramos la existencia de dicha fórmula admitiríamos la demostración de una fórmula falsa y eso sería una inconsistencia, cosa que precisamente estábamos llamados a evitar. Parece pues que G no tiene demostración. Pero es que si demuestro que no existe ninguna fórmula que sea demostración de G esa misma demostración de que no existe ninguna de estas fórmulas será una fórmula, obviamente, algo así como "no existe demostración de G" pues bien, esa fórmula será la demostración de que "Para toda fórmula x, x no es una demostración de G" es decir, y vuelvo a sustitur, será una demostración de G. Entonces llegamos a la inconstatable verdad aunque sea contraria a la razón de que para que G no sea demostrable es preciso que G sea demostrable; esto nos lleva a una situación insostenible parecida pero no igual a la que ya comentamos en el artículo anterior provocada por nuestro amigo Russell. Es decir en realidad no es posible encontrar un procedimiento para decidir si G es o no demostrable, luego G es indecidible (ya explicamos la indecidibilidad en el artículo uno).

(III) Nos preguntamos sobre la verdad o falsedad de G; Si lo pensamos un poco, no es que sea fácil, podemos darnos cuenta de que G es intuitivamente verdadera, precisamente porque dice de si misma que no es demostrable y en realidad no es demostrable, ya lo hemos visto, no podemos encontrar un sistema para demostrar G, y ello es así aunque no podamos demostrar que no sea demostrable... en fin que esta situación verdaderamente extraña ha permitido a algunos, y en concreto a Penrose considerar que la inteligencia humana, que es capaz de intuír la verdad de una fórmula como G, es muy superior a las herramientas lógicas más avanzadas, dado que estas no pueden dar cuenta de la demostrabilidad de tal fórmula (no os he explicado, y eso quedará para un posterior artículo, la relación entre verdad y derivabilidad lógica).

(IV) Nos preguntamos si toda fórmula verdadera es demostrable dentro de la aritmética de Peano; es decir, nos preguntamos por la Completud de la aritmética. Resulta que G es una fórmula verdadera que no es demostrable dentro de la aritmética, ya lo hemos visto, luego no toda fórmula verdadera es demostrable (al menos G no lo es); por tanto la noción de verdad no es coincidente con la de demostrabilidad lógica en un sistema con la capacidad expresiva de la aritmética de Peano; tenemos que, si la aritmética es consistente, entonces es incompleta (es importante el condicional del principio, "si la aritmética es consistente" si volvemos al párrafo II veremos que descartamos una de las opciones porque sino crearíamos una inconsistencia, pero es que a lo mejor resulta que no podemos descartar esa opción). Además Gödel demuestra que la Aritmética de Peano y cualquier otro sistema que tenga la suficiente capacidad expresiva para decir G es esencialmente incompleto, porque aunque añadamos la proposición G como axioma, es reproducible la misma situación, con un procedimiento parecido.

(V) Intentamos una demostración absoluta de la consistencia de la Aritmética de Peano. Acabamos de afirmar que “si la Aritmética es consistente entonces es incompleta” ello es una proposición metamatemática expresable, a su vez, dentro de la Aritmética, y por tanto podemos preguntarnos por su demostrabilidad. Pero necesitamos saber primero si efectivamente "la aritmética es consistente", llamaremos A a la formula que dice que "la aritmética es consistente". Además podemos aceptar que el ".... es incompleta" se puede sustituir por "existe al menos una fórmula verdadera de la aritmética que no es demostrable" lo cual, aceptenme esto sin más, es equivalente a G. Por tanto podemos traducir esta proposición por la siguiente, "Si A entonces G" Gödel demuestra, por un procedimiento que no vamos a ver, que esta última proposición es demostrable dentro de la aritmética.

Ahora podemos demostrar que A no es demostrable dado que si lo fuese, también sería demostrable G, y eso no puede ser salvo que creemos una inconsistencia, como ya hemos visto en II; por tanto aceptamos que si la aritmética es consistente entonces A no es demostrable. Es decir, si la aritmética es consistente entonces es indemostrable.

Las implicaciones de este teorema las explicaremos en otro artículo, para no alargarnos mucho.

Espero no haberos liado mucho la cabeza...

... Y aunque sepas que no es para siempre, no puedes evitar sentir una gran pena, porque ya no va a ser tan fácil verlo, ya no podrás levantar el teléfono y invitarlo a una cerveza, o a una caipiriña.

Y por otro lado, te alegras, porque sabes que ha trabajado mucho para conseguir su objetivo, e implica marcharse ahora, un objetivo por el que tanto ha luchado y tanto se merece.

Mucha suerte en esta nueva etapa, me entristece que te vayas, me alegra que lo hayas conseguido, se te va a echar muuuuuuuuuuucho de menos.

Uxío.

... Y aunque sepas que no es para siempre, no puedes evitar sentir una gran pena, porque ya no va a ser tan fácil verlo, ya no podrás levantar el teléfono y invitarlo a una cerveza, o a una caipiriña.

Y por otro lado, te alegras, porque sabes que ha trabajado mucho para conseguir su objetivo, e implica marcharse ahora, un objetivo por el que tanto ha luchado y tanto se merece.

Mucha suerte en esta nueva etapa, me entristece que te vayas, me alegra que lo hayas conseguido, se te va a echar muuuuuuuuuuucho de menos.

Uxío.

Os traigo un impresionante vídeo de siete minutos con imágenes de la Tierra tomadas desde el espacio por diferentes astronautas de la NASA, narrado por Justin Wilkinson, os recomiendo verlo a pantalla completa y en HD:

Como todos sabemos el cancer es una de las enfemedades más terribles con las que tiene que lidiar el ser humano. No nos engañemos, ninguno de nosotros está llamado a protagonizar un capítulo de Juego de Tronos, ninguno de nosotros luchará junto a William Wallace por la Libertad; y esperemos que ninguno de nosotros tenga que participar en una guerra, aunque lamentablemente esto sólo sea un desideratum; pero lo cierto es que a día de hoy nuestras luchas son otras, hacer las cuentas para que cuadren a fin de mes, intentar que alguien no se nos cuele en la cola del paro, prepararnos, estudiar, aprender inglés y echar currículos a diestro y siniestro. Estas son nuestras batallas. Cada uno hace lo que puede para sobrevivir. La enfermedad, sin duda alguna es algo a lo que tarde o temprano todos nos tenemos que enfrentar, es sólo una cuestión de estadística, aunque no seamos consciente de ello ni lo pensemos mucho. La verdad es que es mejor no pensar en esas cosas... Volvamos al principio... Como decía, el cancer es quizá la más famosa de las enfermedades a día de hoy, probablemente una de las más terribles. Se lo lleva todo. Y claro, la Leucemia, el cancer de sangre, se lleva, ante todo a los niños. Normalmente con estas cosas nada puede hacerse; ¿Qué le vamos a hacer? Pensamos...

Ignacio Ellacuría, alquien que fue muerto por esto que voy a decir, decía que sólo había tres mandatos éticos; el darse cuenta de la realidad, y este empuja a un hacerse cargo de la realidad; el paso siguiente es encargarse de la realidad. Alguien que no se da cuenta puede no ser responsable de sus actos y de sus omisiones; aunque es responsable de vivir en las babiecas. Pero si has leído este artículo difícilmente puedes dejar de darte cuenta... Quizá nada pueda hacerse por la Leucemia... ¡Pero es que sí puede hacerse! La donación de médula puede salvar vidas de personas con Leucemia y otras muchas enfermedades que afectan al sistema inmunológico; sé que suena raro y difícil; sin duda es un compromiso que te llevará parte de tu tiempo; aunque a día de hoy no es un trance arriesgado. Puedes descargarte la Guía del Donante de médula. O simplemente verte este vídeo, aunque sea por curiosidad. 

Y, una vez hecho esto, es posible que te hagas cargo del problema, que lo asumas como algo que te afecta; como algo que no es ajeno a ti; como algo propio; eso es hacerse cargo. Puede que no, que lo veas como algo que no te atañe; es posible, simplemente que esta no sea la batalla en la que tienes que estar; quizá tengas otras batallas; cada uno debe decidirlo; pero lo que es seguro, es que si este es tu problema; si te haces cargo; debes encargarte de él... Quizá después puedas presumir de héroe... aunque eso no sea propio de un héroe, ¿No es así?

imagen (Frote sanguíneo de precursores linfocíticos en una Leucemia linfoide aguda (LLA).) de la Wikipedia

Seguimos con los prerrequisitos para entender el proyecto de la Inteligencia Artificial. Quizá sea necesario represarse la primera parte del artículo. "La conciencia hecha software o el sueño de la razón"

Los toques de atención.

Bueno, según hemos visto en el post anterior a finales del siglo XIX y principios del XX resulta que los filósofos, los matemáticos y los científicos estaban más o menos de acuerdo en que si bien todos los problemas formulables no se habían podido resolver todavía, faltaba muy poco para ello.

Un tal Peano había sido capaz de crear una Teoría axiomática de la aritmética, y con ello de reducir toda la matemática que se conocía hasta entonces a unos pocos principios que, una vez puestos a funcionar, gracias a una maquinaria lógica, producían verdades matemáticas, y no sólo algunas, sino que se suponía que podía producir todas las verdades matemáticas que se conocían entonces. Ya sabemos que Euclides había hecho algo similar con la geometría. Así las cosas todo parecía ir viento en popa. La comprensión y explicación lógica del mundo estaban a la mano; quizá faltaban unos pocos retoques para dar por terminado el asunto y luego... a otra cosa mariposa.

Hasta tal punto parecía que sólo faltaban unos pocos retoques que en 1900 un profesor prusiano de la Universidad de Göttingen llamado Hilbert acude a un congreso Internacional de matemáticas y se pone a recapitular esos retoques que quedaban pendientes; era como si estuviera dando el último impulso, "Venga, sólo nos queda esto por resolver y ya está" esos retoques eran... pues ¡Sólo 23! Son los 23 Problemas de Hilbert.

En este momento y en este contexto es donde puede llegar a tener sentido una pregunta como "¿es posible axiomatizar toda la física?" (Problema nº 6) No sé si os podéis dar cuenta de todo lo que ello significaría, simplemente que todo el conocimiento posible sobre cualquier cosa (al menos si aceptamos la tesis de Sheldom), desde la partícula más insignificante hasta las mayores y más lejanas galaxias se podría reducir a un conjunto limitado de ideas ciertas (axiomas) y a un procedimiento de cálculo, no habría más discusiones ni disputas, todo sería transparente como una operación de la aritmética "1+1=2". Sería la quintaesencia del conocimiento, algo así como la piedra filosofal... Pero algo no iba bien...

En 1868 por un efecto colateral de la demostración de la independencia del 5º axioma de la geometría de Euclides, se da un pequeño toque de atención a este programa tan ambicioso. La independencia del 5º axioma se demostró proponiendo una nueva teoría axiomática identica a la de Euclides sólo que en ella se modifica ese 5º axioma; por ejemplo, negándolo... ¿el resultado?... Veamos lo lógico sería que al negar ese axioma se encontrarían contradicciones... El 5º axioma venía a decir algo así como que por un punto externo a una linea recta, sólo pasa una única recta que sea paralela a la anterior; podemos negarlo diciendo que por un punto externo a una linea recta, no pasa ninguna recta que sea paralela a la anterior; pues bien, con ello no sólo no se obtiene ninguna contradicción sino que obtenemos una Teoría perfectamente coherente, y... por tanto, ¡Lógicamente posible!... La pregunta es ¿entonces, si es lógicamente posible es también físicamente posible? Porque no hemos quedado que el mundo se comporta lógicamente... ¿Acaso hay otros mundos con ese tipo de geometría?...Y entonces es cuando uno empieza a pensar en infinitos mundos posibles, en los agujeros negros y en mundos en la quinta dimensión etc... Hoy en día podemos encontrarnos con un problema análogo con las 11 dimensiones de la Teoría M.

Bueno, esto fue considerado como una nimiedad, una mera anécdota, algo curioso con lo que jugar a la ciencia ficción, nada importante, era lógicamente posible pero no físicamente posible, resulta que la lógica tiene capacidad expresiva para decir también lo imposible. Pero el caso es que a partir de aquí el edificio se irá desmoronando poco a poco...

Algo después, en 1874 un tal George Cantor, se dio de bruces, nunca mejor dicho, con una curiosa verdad matemática que le llevó a la depresión y casi a la locura... Cantor es probablemente uno de los padres de la matemática moderna, sobre todo en la fundamentación de la misma con su "Teoría de conjuntos" la cual probablemente muchos ya conoceréis. El pobre George admitió que había conjuntos de números que tenían infinitos miembros. Eso era ya extraño porque ¿existe realmente el infinito? ¿o es sólo una hipótesis matemática como la de la recta que no tiene ninguna paralela que pase por un punto externo? Dejemos esta cuestión de momento... Todos hemos dicho alguna vez, en esas luchas infantiles... "¡Yo soy hasta mil millones de veces más fuerte que tu!" contestado fácilmente con un... "¡Pues yo infinitas vecs!" Si lo pensamos bien contestar algo como "Pues entonces yo infinitas veces infinito" no nos solucionaría el problema, porque multiplicar infinito por infinito es igual a infinito. Es decir, si hay infinitos miembros en el conjunto A y hay infinitos miembros en el conjunto B, no podemos decir que A sea mayor que B, ni viceversa ¿no es así? Pero aunque sumemos A más B tendremos un conjunto AB que tendrá exactamente infinitos miembros y por tanto no tendrá ni más ni menos elementos que los anteriores, será igual de grande. Y esta es la razón de que el conjunto de los números pares tenga el mismo número de miembros (o cardinalidad) que el conjunto de los números naturales; es decir, infinitos miembros... Hasta aquí bien ¿no? :) Claro, esto ya es bastante raro si queremos que las matemáticas hablen de nuestro mundo; pero es que la cosa aún es peor...

¿Que pasaría si os digo que existen conjuntos de números que tienen un número de miembros superior a infinito?.... Bueno, como mínimo me tildáis de tonto, loco, o sinvergüenza. Si, por otro lado, me creéis; igual os da un cortocircuíto cerebral, o algo por el estilo... Pues imaginad, lo que pensarían los contemporaneos del pobre Cantor, cuando en pleno éxtasis matemático afirmó exactamente esto...

La afirmación de Cantor venía a ser como si un Lord de los comunes empezara a gritar en medio de la asamblea "¡Hasta el infinito y más allá!" Es decir, pensaron que estaba como mínimo equivocado, aunque para ser más exactos verdaderamente pensaron que estaba como una cabra... Pero el caso es que Cantor demostró que existían infinitos más grandes que otros, y hubo gente que entendió esta demostración; (si os interesa la demostración, ved ¿Podemos listar el infinito?) aunque hubo gente que ni se preocupó de entenderla... La demostración se basa en la siguiente idea.

Para saber si un conjunto tiene más elementos que otro (es decir, es más grande que otro) tenemos que contar cuantos elementos tiene. Para eso nos basta con asociar un número y sólo uno a cada cosa de ese conjunto, sin repetir ninguna, claro está, y sin dejarnos ninguna sin enumerar. Bien, pues dado que tenemos infinitos números naturales, en teoría podríamos enumerar un conjunto de infinitos miembros... ¿Obvio, verdad? Pero ¿Qué pasaría si nos encontraramos con un conjunto que no pudiéaramos enumerar? La única razón posible para ello sería que tiene más de infinitos miembros, y entonces los números naturales no nos llegan para enumerar... nos faltan. En este caso existiría un conjunto con una cardinalidad superior a infinito. Pero resulta que Cantor demostró que no se podía enumerar el intervalo que va entre 0 y 1, es decir, que no se podían enumerar los números Reales.

Si, ya sé que parece extraño y que parece que debe haber algo mal en el razonamiento... esa es la sensación; y eso que hoy en día estamos acostumbrados a la ciencia ficción, imagináos en 1874... Esta afirmación era extraña, aunque sólo fuera por lo del infinito de los números naturales, pero eso de la transinfinitud era demasiado para el body... Bueno, tonterías de un loco; pensarían, nosotros sigamos a lo nuestro...

La siguiente bofetada fue en torno a 1900; se la llevó Frege,  del que ya hablamos la vez pasada, y nada más y nada menos que por parte de un alumno al que estimaba bastante; ese alumno se llamaba Bertand Russell.

Como sabemos Frege, había intentado construir un lenguaje que fuera la expresión pura del pensamiento; y aunque no lo hayamos dicho, Frege se había basado en la "Teoría de conjuntos" de Cantor para esta tarea...

Al poco de terminar su obra, llamada Leyes fundamentales de la aritmética , se la envió a Bertrand, para que le diera su opinión; quizá simplemente fue algo que hacen normalmente los maestros con sus alumnos... El caso es que el pobre Frege, justo cuando la que el consideraba su obra cumbre, estaba en la imprenta; recibió una carta de su querido alumno, que en tono muy afectuoso, y con ese deje cuidadoso del que habla con un maestro, le decía que ya había leído su libro, que le había parecido muy bien... pero... que había encontrado un problemilla que era extensible a toda la teoría de conjuntos... ¿lo vemos?

Russell se entretenía creando conjuntos de cualquier cosa, la verdad, debía ser un hombre aburrido, hay gente que busca matrículas capicúas en los coches, otros hacen cosas más raras todavía, y a Russell se le daba por pensar, por ejemplo ¿Cuales serán las propiedades del conjunto de las cucharillas de té? ¿Y las del conjunto de todo lo que no son cucharillas de té? Bueno, un conjunto de cucharillas de té sería realmente interesante y musical, pero muy uniforme, sólo habría cucharrillas; quizá hubiera cucharillas con distintos adornos e incluso de distintos materiales, pero a fin de cuentas sólo cucharillas. Sin embargo el conjunto de todo lo que no es una cucharilla de té evidentemente no tendría ninguna cucharilla, pero tendría todo lo demás; habría pues... caballos, seres humanos, libros, árboles, tazas de té, quizá Hale Berry... Sin duda un conjunto mucho más entretenido... Pero sería un conjunto muy desordenado. ¿Podemos ordenarlo?... El caso es que se dio cuenta de que incluso este conjunto podría tener dentro de si mismo otros conjuntos, eso sería mucho mejor para ordenar el asunto... No vamos a mezclar churras con merinas; mejor tener el conjunto de todos los seres humanos, el conjunto de todos los caballos, el conjunto de todos los libros... Pero, y aquí tenemos que reconocer que Russel se vino arriba ¿Y el conjunto de todas las cosas que no son cucharillas? Bueno, evidentemente el conjunto de todas las cosas que no son cucharillas es un conjunto y no es una cucharilla; luego quizá debería estar incluído dentro de el conjunto de todas las cosas que no son una cucharilla... En realidad estamos preguntando ¿este conjunto se contiene a sí mismo o no? Sé que es una pregunta absurda y que no lleva a ninguna parte, pero vamos a dejar el bueno de Russel con sus manías, es una pregunta adecuadamente formulada y que ha de tener una respuesta, si estás leyendo esto es que no tienes otra cosa mejor que hacer así que ¿Tu que crees? Russell pensó que sí, y que además era bastante claro que este era un conjunto se contenía a sí mismo; mientras que el conjunto de todas las cucharillas de té, (que evidentemente no es una cucharilla) no se contiene a si mismo.

Bueno y ya que estamos, podemos emocionarnos más y más y empezar a crear conjuntos y conjuntos de conjuntos y conjuntos de conjuntos de conjuntos y... Y al final podremos hacer dos grandes conjuntos de conjuntos o metaconjuntos, si ustedes lo prefieren; los conjuntos que se contienen a si mismos, y los conjuntos que no se contienen a si mismos... No parece que exista una tercera posibilidad ¿no es verdad? Ahora bien, si no hay tercera posibilidad, y ambos son conjuntos, entonces... ¿Podemos crear un único conjunto?, ¿Pero a cual? ¡Oh... Ser o no ser, este si que es el dilema!

Empecemos por decidir a qué conjunto pertenece ese gigantesco conjunto que contiene todos los conjuntos que no se contienen a si mismos; al que por cierto podemos llamar conjunto R,  pues bien este conjunto debe pertenecer a alguno de los dos,

... Si R perteneciera a R, es decir, perteneciera al conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a si mismos y sólamente a estos, entonces sucedería que R pertenecería a si mismo... (puesto que sería el caso de que R pertenece a R) pero eso no puede ser porque entonces debería dejar de pertenecer al conjunto de los conjuntos que no se pertenecen a si mismos, el cual es precisamente R es decir, R no puede pertenecer a R. Parece por tanto que R no pertenece a R... Pero si no pertenece a R entonces es que no se incluye a sí mismo luego debería pertenecer a R (que es precisamente el metaconjunto de los conjuntos que no se pertenecen a si mismos) Pero si esto fuera así... R pertenecería a R... vuelva por favor al principio del párrafo...

Aunque es verdad que este lío lo ha creado Russell; en realidad el sistema de Frege no lo evita; y si el sistema de Frege, que pretendía ser el lenguaje del pensamiento no puede evitar semejante circularidad, sencillamente no nos vale para nada. Porque lo que queríamos era crear una mente autónoma, que sólo precisara de si misma para funcionar. Con el sistema de Frege lo que obtendríamos es una mente que podemos confundir con juegos tan sencillos como los que Russell presentó.

Dejamos para el próximo artículo la estacada final a este proyecto; dada por un jovencito Gödel.

(en la foto Bentrand Russell, extraída de la Wikipedia)

[Por Uxío] Una fotografía para no perdérsela, El VTL Survey Telescope, situado en Chile, ha conseguido una toma para la historia, tres galaxias en una sóla imagen, ¿cómo lo han hecho?

Los telescopios normales "sólo" pueden estudiar una galaxia a la vez, pero el campo de visión del VTS es mucho más amplio, es un aparato de 2,6 metros, con una cámara llamada OmegaCAM de 268 Megapixeles.

Otro factor que ha hecho posible la imagen es la "proximidad" de estas tres galaxias, que componen el llamado Triplete de Leo, interactuando entre sí a unos 35 millones de años luz de la Tierra, estas galaxias son M65, M66 y NGC 3628.

La tres Galaxias tienen una forma similar a nuestra Vía Láctea, ya que son galaxias de espiral, aunque en la foto no se aprecia correctamente porque los "discos" están inclinados de diferentes formas.

Cada vez que se habla de galaxias es inevitable pensar en el inabarcable tamaño del universo, en lo que puede haber en ellas, y en la absoluta ignorancia en la que vivimos, si lo poco que sabemos y descubrimos de la Vía Láctea nos asombra cada día, ¿Qué podemos esperar de galaxias infinitamente más grandes que la nuestra?.

Fuente

[Por Uxío] Estamos viviendo días de especial interés para la astronomía, si hace apenas unos días el Hubble descubría la cuarta luna de Plutón, hoy nos enteramos de que podríamos tener un curioso compañero de viaje.

¿Puedes verlo?, la NASA nos ayuda señalándolo

Según investigaciones de la NASA, la Tierra podría tener (aún lo tienen que confirmar), un asteroide troyano, que ya ha sido bautizado como 2010 TK7, con unos 300 metros de diámetro.

El fotógrafo David Slater, de 46 años estaba en un Parque Nacional de Indonesia buscando acercarse y conocer más a los monos de cresta negra. Se asoció con un guía local y durante tres días estuvo con ellos y llegó a conocer a las criaturas, “Nos hicimos amigos de los monos y no mostraron absolutamente ningún signo de agresión, ya que estaban interesados en las cosas que llevaba”

Dentro de las cosas que llamaron la atención de los cresta roja fue la cámara que llevaba el fotógrafo. Al ver la curiosidad de los primates, Slater colocó la cámara en un trípode y la dejó ahí. A los monos les había llamado poderosamente la atención el sonido del click de las fotos y lentamente se aventuraron a probar por ellos mismos. El resultado es la primera serie de fotos de la historia tomada por animales.

“Ellos no son conocidos por ser particularmente inteligentes como los chimpancés, esto fue sólo curiosidad. A pesar de que probablemente nunca tengan contacto alguno con los seres humanos antes, no parece que se sienten amenazados por nuestra presencia” dijo el fotógrafo.

¡Sonríe!

Fuente: The Guardian

Ezra Pound es, sin duda, un personaje controvertido; por su forma de ser, por sus opiniones; por ser alguien que no se callaba lo que pensaba... y por tener ideas propias.

La mayor acusación que se hace a Ezra Pound es que fue amigo de Mussolini; bueno, es difícil mantener tal cosa, Pound vio a Mussolini una vez y le regaló su libro de Cantos además de comentarle sus ideas económicas aunque es cierto que luego mantuvo correspondencia con él. El problema es que Pound apoyó al fascismo en algunos de sus aspectos. Pero quizá debamos profundizar en esto. En realidad lo que Ezra defendía era la "Teoría del Crédito Social" teoría que Pound toma de su amigo C.H. Douglas uno de los creadores del concepto "Democracia Económica" y que este a su vez toma, probablemente de Gesell, un importante teórico anarquista, curiosamente si leéis el artículo sobre Douglas en castellano viene una interesante explicación de la crisis actual y una serie de propuestas dirigidas a solucionarla.

Obviamente las ideas económicas de Pound son las que aprendió con Douglas. Y obviamente son medidas razonables en contra de este sistema demoledor capitalista; eso era propiamente lo que Pound odiaba, tanto o más que a su mayor representante en la tierra, los EEUU, su propia patria. Pound dejó, durante un tiempo su poesía para dedicarse a implementar las ideas de Douglas en la sociedad y así desterrar el cruel sistema capitalista, y por ello intentó influenciar en la República Española a través de Salvador de Madariaga. Tras ello se acercó a Mussolini porque tenía la esperanza de que si podía influenciarle instauraría estas propuestas del crédito social y la democracia económica en Italia; claramente Pound se equivocó; porque, como sabemos, eso no pasará.

Quiero que veáis esta foto:

En un lado está Ezra Pound tras ser acusado de traición a la patria por decir que Jeferson no era mejor que Mussolini, por defender sus ideas del crédito social, y tener ideas propias. Por ello fue condenado duramente y sufrió una condena en las peores condiciones posibles; encadenado al aire libre y torturado; por suerte Pound había ayudado a mucha gente, a muchísima gente, era un mecenas del arte; el propio Hemingway, llegó a decir "resulta que Pound, el gran poeta, dedica, digamos, una quinta parte de su tiempo a la poesía. Emplea el resto en tratar de mejorar la suerte, tanto material como artística, de sus amigos. Los defiende cuando son atacados, hace que las revistas publiquen obras suyas y los saca de la cárcel. Les presta dinero. Vende sus cuadros. Les organiza conciertos. Escribe artículos sobre ellos. Les presenta mujeres ricas. Hace que los editores acepten sus libros. Los acompaña toda la noche cuando aseguran que se están muriendo y firma como testigo en sus testamentos. Les adelanta los gastos del hospital y los disuade de suicidarse. Y al final algunos de ellos se contienen para no acuchillarse a la primera oportunidad" gracias a eso, algunos amigos escritores, como T.S. Eliot, lo salvaron de morir ahorcado, con el tiempo le será conmutada la pena por un internamiento psiquiátrico; para finalmente ser liberado por ser declarado un loco inofensivo. Y después de tanto tiempo, lo tenemos ahí, envejecido; con una mirada penetrante que se adivina tras el sombrero.

Del otro lado está una estatua de James Joyce; alguien que obviamente es famoso, que ha pasado a los libros y a ser una cima de la literatura universal... Alguien a quien nadie quería publicar un sólo libro, y que sólo gracias a Ezra Pound consiguió publicar "Dublineses" y poco más tarde, otra vez gracias a Pound será publicado " Retrato de un artista adolescente" en la revista "The Egoist", más tarde Pound volverá a interceder por Joyce, nuevamente otra obra que nadie quería publicar, el "Ulises" Pound será el que consiga los fondos para dicha publicación, con el tiempo Pound reconocería que la exagerada fama de este libro no le parecía justificada...

Hoy poca gente habla ya de Ezra Pound, algunos lo hacen, y algunos aprendemos de su poesía, y de sus teorías poéticas, el imagismo que intenta actualizar la visión poética del haiku, o el vorticismo; así que sólo puedo decir que a pesar de sus errores; sin duda il miglior fabbro.

Os dejo con un poema sobre la usura, (¿una crítica al capitalismo?) recitado por el mismo: